自相似测度非线性像的傅里叶变换：定量层面

本文研究了 $\mathbb{R}^k$ 上自相似测度 $\mu$ 在非线性光滑映射 $f \colon \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}$ 下的像的傅里叶衰减性质。例如，我们证明如果定义 $\mu$ 的相似性的线性部分是可交换的，且 $f$ 的图像具有非零高斯曲率，那么像测度的傅里叶维数至少为 $\max\left\{ \frac{2(2\kappa_2 - k)}{4 + 2\kappa_* - k} , 0 \right\}$，其中 $\kappa_2$ 是 $\mu$ 的下相关维数，$\kappa_*$ 是 $\mu$ 支撑集的 Assouad 维数。在对 $\mu$ 的一些额外假设下，我们利用分形不确定性原理的最新突破，进一步改进了衰减指数。我们给出了自相似集 $F$ 在直线上的非线性算术的几个应用。例如，我们证明如果 $\dim_{\mathrm H} F > (\sqrt{65} - 5)/4 = 0.765\dots$，那么算术乘积集 $F \cdot F = \{ xy : x,y \in F \}$ 具有正勒贝格测度；而如果 $\dim_{\mathrm H} F > (-3 + \sqrt{41})/4 = 0.850\dots$，那么 $F \cdot F \cdot F$ 具有非空内部。上述结果的一个特征是它们不需要自相似集满足任何分离条件。