具有仿射尺度的分形测度的傅里叶对偶性

对于一族分形测度，我们找到了一个显式的傅里叶对偶性。这对测度在$\br^d$中具有紧支集，并且它们具有相同的矩阵缩放。但两者使用不同的平移向量，一个由$\br^d$中的子集$B$给出，另一个由相关的子集$L$给出。除其他事项外，我们证明了存在$\br^d$中的一对无限离散集$\Gamma(L)$和$\Gamma(B)$，使得$\Gamma(L)$-傅里叶指数在$L^2(\mu_B)$中正交，而$\Gamma(B)$-傅里叶指数在$L^2(\mu_L)$中正交。这些正交的“频率”集通常是缺项的，并且将通过大尺度缩放获得。我们将在高维和实直线上的例子中探讨这种对偶性的本质。我们的对偶对并不总是在各自的$L^2(\mu)$-希尔伯特空间中产生正交傅里叶基，但取决于某些有限轨道的几何性质，我们证明在某些情况下它们确实如此。我们进一步表明，存在新的且令人惊讶的缩放对称性，这些对称性与这些仿射分形测度的遍历理论相关。