由某 C$^*$-代数的表示诱导的分形测度的调和分析

我们描述 $\br^d$ 中一类可测子集 $\Omega$，使得 $L^2(\Omega)$ 具有由频率 $e_\lambda(x)=e^{i2\pi\lambda\cdot x}(x\in\Omega)$ 构成的正交基，其指标 $\lambda\in\Lambda\subset\br^d$。我们证明此类谱对 $(\Omega ,\Lambda)$ 具有自相似性，可用于生成具有 Cantor 集支撑的关联分形测度 $\mu$。Hilbert 空间 $L^2(\mu)$ 没有完全的频域正交系，但 $\mu$ 的调和分析可改由 Cuntz C$^*$-代数的一个自然表示来建立，该表示由支撑给定谱对 $(\Omega ,\Lambda)$ 的一对格构造而来。我们反过来证明，这样的谱对可由作用在 $L^2(\mu)$ 上的某个给定的 Cuntz 表示重建。