双调和算子特征函数节点集的测度上界

本文中，我们考虑双调和算子的特征函数 $u$，即在 $\Omega$ 上满足 $\triangle^2u=\lambda^2u$ 并带有某些齐次线性边界条件的函数。我们假设 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ ($n\geq2$) 是一个 $C^{\infty}$ 有界域，$\partial\Omega$ 分段解析，且除集合 $\Gamma\subseteq\partial\Omega$ 外 $\partial\Omega$ 是解析的，其中 $\Gamma$ 是 $\partial\Omega$ 上一些紧致 $(n-2)$ 维子流形的有限并。本文的主要结果是特征函数节点集的测度上界由 $\sqrt{\lambda}$ 控制。我们首先定义与这些特征函数相关的频率函数和倍增指数。借助建立单调性公式、倍增条件以及各种先验估计，我们得到这些特征函数在球内的节点集的 $(n-1)$ 维 Hausdorff 测度由频率函数和 $\sqrt{\lambda}$ 控制。为了进一步用 $\sqrt{\lambda}$ 控制频率函数，我们首先建立频率函数与倍增指数之间的关系，然后将域 $\Omega$ 分为两部分：远离 $\Gamma$ 的域和靠近 $\Gamma$ 的域，并分别发展迭代论证来处理这两种情况。