具有分数维渐近边界的 $\mathbb{H}^n$ 区域中的有界 $\lambda$-调和函数

研究了 $\mathbb{H}^n$ 中无界区域上 $\lambda$-调和函数的存在性与不存在性。我们证明，若区域 $\Omega$ 的渐近边界的 $(n-1)/2$ 维 Hausdorff 测度为零，则对 $\lambda \in [0,\lambda_1(\mathbb{H}^n)]$（其中 $\lambda_1(\mathbb{H}^n)=(n-1)^2/4$），$\Omega$ 不存在有界 $\lambda$-调和函数。对这些区域，我们有比较原理和某些极大值原理。反之，对任意 $s>(n-1)/2$，我们证明存在渐近边界维数为 $s$ 的区域，使得其中有在无穷远处指数衰减的有界 $\lambda_1$-调和函数。