具有较低正则边界的区域上调和测度的绝对连续性

我们研究具有大补集的区域 $\Omega$ 上调和测度关于曲面测度的绝对连续性。我们证明，如果 $\Gamma\subset \mathbb{R}^{d+1}$ 是 $d$-Ahlfors 正则的，并将 $\mathbb{R}^{d+1}$ 分割为两个 NTA 区域，那么在 $\Gamma\cap \partial\Omega$ 上有 $\omega_{\Omega}\ll \mathscr{H}^{d}$。这一结果是 Wu 在 [Wu86] 中结果的自然推广。我们还证明，如果 $\Gamma$ 是 Lipschitz 图，则 $\Gamma\cap\partial\Omega$ 中几乎每一点都是锥点。结合这些结果与 [AHMMMTV] 中的一个结果，我们既用锥点条件也用边界的可整流结构刻画了具有有限 $\mathscr{H}^{d}$-测度的绝对连续性集合。这推广了 McMillan 在 [McM69] 和 Pommerenke 在 [Pom86] 中的结果。最后，我们还证明，在对矩阵梯度施加温和假设的条件下，我们的第一个结果对于与实二阶散度型椭圆算子相关联的椭圆测度也成立。