NTA 区域中调和测度的绝对连续集

我们证明，如果 $\Omega$ 是一个具有调和测度 $w$ 的 NTA 区域，且 $E\subseteq \partial\Omega$ 包含在一个 Ahlfors 正则集中，那么 $w|_{E}\ll \mathscr{H}^{d}|_{E}$。此外，这在定量意义上成立，即对于所有 $\tau>0$，$w$ 关于 $\mathscr{H}^{d}|_{E'}$ 满足一个 $A_{\infty}$ 型条件，其中 $E'\subseteq E$ 使得 $w(E\backslash E')<\tau w(E)$，即使 $\partial\Omega$ 可能甚至不是局部 $\mathscr{H}^{d}$-有限的。我们还证明，对于具有均匀补集的均匀区域，如果 $E\subseteq\partial\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{d}$ 的一个子集的 Lipschitz 像，那么存在 $E'\subseteq E$ 满足 $\mathscr{H}^{d}(E\backslash E')<\tau \mathscr{H}^{d}(E)$，在其上类似的 $A_{\infty}$ 型条件成立。