无 Ahlfors 正则性假设的有界调和函数的 Carleson 测度估计与 $\epsilon$-逼近

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{d+1}$ ($d \geq 1$) 中的一个区域。在本文参考文献 [HMM2] 和 [GMT] 中证明了，如果 $\Omega$ 满足软木塞条件且 $\partial \Omega$ 是 $d$-Ahlfors 正则的，即对所有 $x \in \partial \Omega$ 和 $0 < r < {\rm diam}(\partial \Omega)$，Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^d(B(x,r) \cap \partial \Omega) \sim r^d$，则 $\partial \Omega$ 一致可长当且仅当 (a) 对 $\Omega$ 上的每个有界调和函数成立平方函数 Carleson 测度估计，或 (b) 对每个此类函数对所有 $0 < \varepsilon <1$ 成立 $\varepsilon$-逼近性质。在此我们探讨不要求 $\partial \Omega$ 为 Ahlfors 正则时的 (a) 和 (b)。我们首先证明，对任何存在区域 $\widetilde \Omega \subset \Omega$ 使得 $\partial \Omega \subset \partial \widetilde \Omega$ 且 $\partial \widetilde \Omega$ 一致可长的区域 $\Omega$， 和 (b) 均成立。接下来我们假设 $\Omega$ 满足软木塞条件且 $\partial \Omega$ 满足容量密度条件。在这些假设下，我们反过来证明此类 $\widetilde \Omega$ 的存在意味着 和 (b) 在 $\Omega$ 上成立，并给出了 成立的区域的进一步刻画。其一为调和测度满足关于直径的 Carleson 填充条件，类似于在 [GMT] 中被证明等价于一致可长性的日冕分解。第二种刻画令人联想到单位圆盘中 $H^{\infty}$ 插值序列的 Carleson 测度描述。