一致域中的 A_∞ 条件、ε-逼近子与 Varopoulos 扩张
偏微分方程分析
2023-02-28 v1
摘要
设 Ω ⊂ R^{n+1}（n≥1）为具有 n-Ahlfors 正则边界的一致域，L 为 Ω 中散度型椭圆、实值、有界算子（不必对称）。我们证明相应的椭圆测度 ω_L 在定量绝对连续于 ∂Ω 的表面测度意义下，即 ω_L ∈ A_∞(σ)，当且仅当对任意 ε ∈ (0,1)，Lu = 0 在 Ω 中的任意有界解 u 是 ε-可逼近的。u 的 ε-可逼近性意指存在函数 Φ = Φ^ε，使得 ‖u−Φ‖_{L^∞(Ω)} ≤ ε‖u‖_{L^∞(Ω)}，且由 dμ̃ = |∇Φ(Y)| dY 定义的测度 μ̃_Φ 是一个 Carleson 测度，并对 Carleson 范数具有 L^∞ 控制。作为该逼近结果的推论，我们证明具有紧支撑的边界 BMO 函数甚至在某些具有不可求长边界的集合中也可拥有 Varopoulos 型扩张，即光滑扩张非切向收敛回原始数据，并满足具有 BMO 对 Carleson 范数控制的 L^1 型 Carleson 测度估计。我们的结果补充了 Hofmann 与第三作者近期的工作，他们展示了在定量可求长性假设下这类扩张的存在性。
引用
@article{arxiv.2302.13294,
title = {The $A_\infty$ condition, $\varepsilon$-approximators, and Varopoulos extensions in uniform domains},
author = {Simon Bortz and Bruno Poggi and Olli Tapiola and Xavier Tolsa},
journal= {arXiv preprint arXiv:2302.13294},
year = {2023}
}
备注
42 pages