具有 Ahlfors-正则边界的域中的 Varopoulos 扩张及其在具有 L^\infty 系数的椭圆方程组边值问题中的应用

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$,$n\geq 1$,为一开集,其边界 $\partial \Omega$ 为 $s$-Ahlfors 正则,其中某 $s \in(0,n]$,且满足:要么 $s=n$ 且 $\Omega$ 为具有点态 John 条件的软木塞域,要么 $s<n$ 且 $\Omega= \mathbb{R}^{n+1} \setminus E$,其中某 $s$-Ahlfors 正则集 $E \subset \mathbb{R}^{n+1}$。本文给出一种统一方法以构造 $BMO$ 与 $L^p$ 边界函数的 Varopoulos 型扩张。具体地,我们证明:a) 若 $f \in BMO(\partial \Omega)$,存在 $F\in C^\infty(\Omega)$ 使得 $dist(x, \Omega^c)|\nabla F(x)|$ 在 $\Omega$ 中一致有界,且 $dist(x,\Omega^c)^{s-n}|\nabla F(x)|$ 的 Carleson 泛函以及 $F$ 的锐非切向极大函数在 $\partial \Omega$ 上一致有界,其范数由 $f$ 的 $BMO$ 范数控制,并且 $F \to f$ 在某种非切向意义下 $\mathcal H^s|_{\partial \Omega}$-几乎处处成立;b) 若 $\bar f \in L^p(\partial \Omega)$,$1 <p \leq \infty$,存在 $\bar F \in C^\infty(\Omega)$ 使得 $\bar F$ 与 $dist(\cdot, \Omega^c)|\nabla \bar F|$ 的非切向极大函数以及 $dist(\cdot,\Omega^c)^{s-n}|\nabla \bar F|$ 的 Carleson 泛函均属于 $L^p(\partial \Omega)$,其范数由 $\bar f$ 的 $L^p$ 范数控制,且 $\bar F \to \bar f$ 在某种非切向意义下 $\mathcal H^s|_{\partial \Omega}$-几乎处处成立。若进一步边界函数为紧支 Lipschitz 函数,则 $F$ 与 $\bar F$ 均可构造为在 $\bar\Omega$ 上亦为 Lipschitz 且连续收敛于边界数据。后一结果无需点态 John 条件的附加假设。最后,我们给出所构造扩张在 Poisson 问题与边值问题(BVP)关联中的一些应用。