关于临界椭圆方程解的 $BMO$ 及梯度估计

本文探讨了最近引入的具有有界 $\beta$ -维均值振荡函数空间（$\beta \in (0,n]$）的若干应用，用于研究临界指数椭圆方程的正则性理论。我们首先表明，梯度属于弱-$L^n$ 的函数属于 $BMO^\beta$ ，其中任意 $\beta \in (0,n]$ ，从而改进了经典结果 $\nabla u\in L^n$ 暗示 $u\in BMO$ 。我们应用这一结果，对边界为零的有界 $C^1$ 域上的泊松方程 $-\Delta u = \operatorname{div} F$ 进行分析，证明当 $F$ 属于弱-$L^n$ 时，$u\in BMO^\beta$ 。随后，我们考察 $n$ -Laplace 方程\n\n\begin{align*}\n-\operatorname*{div}( |\nabla U|^{n-2} \nabla U) &= F \text{ 在 } \Omega, \\\nU &=0 \text{ 在 } \partial \Omega.\n\end{align*}\n其中 $F\in L^1(\Omega)$ ，并证明经典结果 $u\in BMO$ 可改进为 $u\in BMO^\beta$ 。最后，我们考虑 $F \in L^1$ 、$\operatorname{div} F=0$ 情况下的 $n$ -Laplace 方程，证明对于光滑域 $\Omega$ ，有估计\n\begin{align*}\n\|\nabla U \ \|_{L^n} \mathbb \leq C \, \|F\|^{1/(n-1)}_{L^1},\n\end{align*}\n其中常数 $C$ 与 $F$ 无关。