上半空间中椭圆系统的 BMO-Dirichlet 问题与 VMO 的定量刻画
偏微分方程分析
2018-10-17 v2 经典分析与常微分方程
泛函分析
摘要
我们证明，对于任意齐次二阶常复系数椭圆系统 L，在 R^n_+ 中具有 BMO 边界数据的 Dirichlet 问题在函数类 u 中是适定的，其中 dμ_u(x',t) := |∇u(x',t)|² t dx' dt 是一个 Carleson 测度。我们建立了一个类 Fatou 定理，保证了满足上述 Carleson 测度条件的此类系统光滑零解的点态非切向边界迹的存在性。这些结果意味着 BMO 可以被刻画为具有 μ_u 为 Carleson 测度这一性质的椭圆系统 L 的光滑零解的非切向点态边界迹的全体。我们建立了上半空间中 BMO-Dirichlet 问题的正则性结果：满足上述 Carleson 测度条件的 L 的任意光滑零解的非切向点态边界迹属于 Sarason 空间 VMO，当且仅当 μ_u 满足消失 Carleson 测度条件。此外，我们得到了当边界数据被指定在 Morrey-Campanato 空间中且解要求满足分数阶消失 Carleson 测度条件时 Dirichlet 问题的适定性。作为推论，我们刻画了 VMO 空间为 BMO 中某些光滑函数类的闭包，这些光滑函数类包含于 BMO 中且其中的均匀连续性可以被适当地量化（例如满足 Hölder 或 Lipschitz 条件的光滑函数类），从而改进了 Sarason 关于 VMO 是 BMO 中有界平均振荡的一致连续函数类的闭空间的经典结果。最后，我们证明了任何满足 T(1)=0 的 Calderón-Zygmund 算子 T 可以作为 VMO 上的有界线性算子延拓，并通过各类奇异积分算子的作用刻画了 VMO 的成员资格。
引用
@article{arxiv.1605.08326,
title = {The BMO-Dirichlet problem for elliptic systems in the upper-half space and quantitative characterizations of VMO},
author = {José María Martell and Dorina Mitrea and Irina Mitrea and Marius Mitrea},
journal= {arXiv preprint arXiv:1605.08326},
year = {2018}
}