与薛定谔算子相关的Carleson测度、BMO空间与扫除

设 $\L$ 为作用于 $L^2(\mathbb R^n)$ ($n\geq3$) 的薛定谔算子，形式为 $\L=-\Delta+V$，其中非负势 $V$ 属于某个 $q\geq n$ 的反向 Hölder 类 $B_q$。令 ${\rm BMO}_{{\mathcal{L}}}(\RR)$ 表示 $\RR$ 上与薛定谔算子 $\L$ 相关的 BMO 空间。本文证明，对每一个具有紧支集的 $f\in {\rm BMO}_{\mathcal{L}}(\RR)$，存在 $g\in L^{\infty}(\RR)$ 和一个有限 Carleson 测度 $\mu$，使得 $$f(x)=g(x) + S_{\mu, {\mathcal P}}(x)$$ 且 $\|g\|_{\infty} +\||\mu\||_{c}\leq C \|f\|_{{\rm BMO}_{\mathcal{L}}(\RR)},$ 其中 $$S_{\mu, {\mathcal P}}=\int_{{\mathbb R}^{n+1}_+} {\mathcal P}_t(x,y) d\mu(y, t),$$ 而 ${\mathcal P}_t(x,y)$ 是 $L^2(\mathbb R^n)$ 上 Poisson 半群 $\{e^{-t\sqrt{\L}}\}_{t> 0}$ 的核。反之，若 $\mu$ 是一个 Carleson 测度，则 $S_{\mu, {\mathcal P}}$ 属于空间 ${\rm BMO}_{{\mathcal{L}}}(\RR)$。这将 Carleson 关于经典 John--Nirenberg BMO 空间的结果推广到了与薛定谔算子相关的 BMO 情形。