关于具有 Morrey 迹的薛定谔算子泊松积分的刻画

设 $L$ 为作用于 $L^2(\mathbb R^n)$ 的薛定谔算子，形式为 $L=-\Delta+V$，其中非负势 $V$ 属于某个 $q\geq n$ 的逆 Hölder 类 $B_q$。在本文中，我们将证明函数 $f\in L^{2, \lambda}({\mathbb{R}^n}), 0<\lambda<n$ 是方程 ${\mathbb L}u=-u_{tt}+L u=0, u(x,0)= f(x)$ 解的迹，其中 $u$ 满足 Carleson 型条件 \begin{eqnarray*} \sup_{x_B, r_B} r_B^{-\lambda}\int_0^{r_B}\int_{B(x_B, r_B)} t|\nabla u(x,t)|^2 {dx dt} \leq C <\infty. \end{eqnarray*} 其证明严重依赖于研究经典 Morrey 空间与与新算子 $L$ 相关联的新 Campanato 空间 $\mathscr{L}_L^{2,\lambda}({\mathbb{R}^n})$ 之间的内在关系，即 $$\mathscr{L}_L^{2,\lambda}(\mathbb{R}^n)= {L}^{2,\lambda}(\mathbb{R}^n).$$ 反之，该 Carleson 型条件刻画了所有迹属于空间 $L^{2, \lambda}({\mathbb{R}^n})$ 的 ${\mathbb L}$-调和函数（对于所有 $0<\lambda<n$）。这扩展了 [FJN, DYZ, JXY] 的先前结果。