上半空间中Schrödinger方程的CMO-Dirichlet问题及CMO的刻画

设 $\mathcal{L}$ 为作用于 $L^2(\mathbb R^n)$ 的形如 $\mathcal{L}=-\Delta+V$ 的 Schrödinger 算子，其中非负势 $V$ 属于某个 $q\geq (n+1)/2$ 的反向 Hölder 类 ${RH}_q$。令 ${CMO}_{\mathcal{L}}(\mathbb{R}^n)$ 表示与 $\mathcal{L}$ 相关的消失平均振荡函数空间。本文将证明，${ CMO}_{\mathcal{L}}(\mathbb{R}^n)$ 中的函数 $f$ 是 $\mathbb{L}u=-u_{tt}+\mathcal{L} u=0$、$u(x,0)=f(x)$ 解的迹，当且仅当 $u$ 满足 Carleson 条件 $$\sup_{B: \ { balls}}\mathcal{C}_{u,B} :=\sup_{B(x_B,r_B): \ { balls}} r_B^{-n}\int_0^{r_B}\int_{B(x_B, r_B)} \big|t \nabla u(x,t)\big|^2\, \frac{ dx\, dt } {t} <\infty,$$ 且 $$\lim _{a \rightarrow 0}\sup _{B: r_{B} \leq a} \,\mathcal{C}_{u,B} = \lim _{a \rightarrow \infty}\sup _{B: r_{B} \geq a} \,\mathcal{C}_{u,B} = \lim _{a \rightarrow \infty}\sup _{B: B \subseteq \left(B(0, a)\right)^c} \,\mathcal{C}_{u,B}=0.$$ 这延续了 Duong、Yan 和 Zhang \cite{DYZ} 以及 Jiang 和 Li \cite{JL} 对 ${ BMO}_{\mathcal{L}}$ 空间的先前刻画工作，而后者由 Fabes、Johnson 和 Neri \cite{FJN} 针对经典 BMO 空间所奠基。为此，我们将从平均振荡和帐篷空间理论两方面证明 ${ CMO}_{\mathcal{L}}(\mathbb{R}^n)$ 空间的两种新刻画。