带奇异势与测度数据的分数阶 Schrödinger 方程

我们考虑在有界域 $\Omega$ 上提出的稳态分数阶 Schrödinger 方程 $L u + V u = f$；$L$ 是一个积分微分算子，如通常版本的分数阶 Laplacian $(-\Delta)^s$；$V\ge 0$ 是一个可能具有奇异性的势，右端是可积函数或 Radon 测度。我们通过 $(-\Delta)^s$ 的 Green 函数重新表述该问题，并证明以函数为数据时的适定性。若 $V$ 有界或温和奇异，则对每个 Borel 测度 $\mu$ 存在 $(-\Delta)^s u + V u = \mu$ 的唯一解。另一方面，当允许 $V$ 更奇异但仅在一个有限点集上时，当且仅当 $h(y) = V(y) |x - y|^{-(n+2s)}$ 在 $x$ 附近某个小球上可积时，存在 $(-\Delta)^s u + V u = \delta_x$ 的解，其中 $\delta_x$ 为 $x$ 处的 Dirac 测度。我们证明集合 $Z = \{x \in \Omega : \textrm{不存在 } (-\Delta)^s u + Vu = \delta_x \textrm{ 的解}\}$ 具有以下相关性：存在 $(-\Delta)^s u + V u = \mu$ 的解当且仅当 $|\mu| (Z) = 0$。此外，$Z$ 是强最大值原理失效的点集，即对任意有界 $f$，$(-\Delta)^s u + Vu = f$ 的解在 $Z$ 上为零。