半线性椭圆方程解的精确指数衰减及其对实解析非线性项解集结构的影响

我们关注稳态 Schr\"odinger 方程 $-\Delta u + Vu = f(u)$ 的弱解性质，其中 $u\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$，$V$ 是 H\"older 连续函数且 $\inf V>0$。假设 $f$ 连续且在 $0$ 附近被指数大于 $1$ 的幂函数有界，我们利用 Schr\"odinger 算子的 Green 函数给出了解在无穷远处的精确衰减估计。在某些情况下，这改进了关于解衰减的已知定理。如果 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上也是实解析的，我们得出正解集是局部路径连通的。对于周期势 $V$，这意味着在附加假设下，标准变分泛函在低能范围内具有离散的临界值，并且存在一个紧致的孤立正解集。