薛定谔背景下 BMO 与 Lipschitz 空间的若干刻画

我们考虑 $\mathbb R^d$（$d\geq3$）上的薛定谔算子 $\mathcal{L}=-\Delta+V$，其中非负势 $V$ 对某个 $s\geq d/2$ 属于反向 Hölder 类 $RH_s$。实值函数 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$ 属于（BMO）空间 $\mathrm{BMO}_{\rho,\theta}(\mathbb R^d)$（$0<\theta<\infty$），如果 \begin{equation*} \|f\|_{\mathrm{BMO}_{\rho,\theta}} :=\sup_{B(x_0,r)}\bigg(1+\frac{r}{\rho(x_0)}\bigg)^{-\theta}\bigg(\frac{1}{|B(x_0,r)|}\int_{B(x_0,r)}\big|f(x)-f_{B}\big\,\,dx\bigg), \end{equation*} 其中上确界取遍所有球 $B(x_0,r)\subset\mathbb R^d$，$\rho(\cdot)$ 为薛定谔背景下的临界半径函数，且 \begin{equation*} f_{B}:=\frac{1}{|B(x_0,r)|}\int_{B(x_0,r)}f(y)\,dy. \end{equation*} 实值函数 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$ 属于（Lipschitz）空间 $\mathrm{Lip}_{\beta}^{\rho,\theta}(\mathbb R^d)$（$0<\beta<1$ 且 $0<\theta<\infty$），如果 \begin{equation*} \|f\|_{\mathrm{Lip}_{\beta}^{\rho,\theta}} :=\sup_{B(x_0,r)}\bigg(1+\frac{r}{\rho(x_0)}\bigg)^{-\theta} \bigg(\frac{1}{|B(x_0,r)|^{1+\beta/d}}\int_{B(x_0,r)}\big|f(x)-f_{B}\big\,\,dx\bigg). \end{equation*} 容易看出 $\mathrm{BMO}_{\rho,\theta}(\mathbb R^d)$（或 $\mathrm{Lip}_{\beta}^{\rho,\theta}(\mathbb R^d)$）是比经典 BMO（或 Lipschitz）空间更大的函数空间。本文给出与薛定谔算子 $\mathcal{L}$ 相关的 BMO 与 Lipschitz 空间的一些新刻画。我们将 Bongioanni--Harboure--Salinas 与 Liu--Sheng 的先前工作推广到加权情形。这里考虑的权类大于经典的 Muckenhoupt 类。