与某些 Schrödinger 算子相关联的 Hardy 空间的刻画

设 $\{K_t\}_{t>0}$ 为由 $\mathbb R^d$ ($d\geq 3$) 上的 Schrödinger 算子 $-L=\Delta - V(x)$ 生成的线性算子半群，其中 $V(x)\geq 0$ 满足 $\Delta^{-1} V\in L^\infty$。若 $L^1$ 函数 $f$ 的极大函数 $\mathcal M_L f(x) = \sup_{t>0} |K_tf(x)|$ 属于 $L^1(\mathbb R^d)$，则称 $f$ 属于 Hardy 空间 $H^1_L$。我们证明了算子 $(-\Delta)^{1\slash 2} L^{-1\slash 2}$ 是空间 $H^1_L$ 到经典 Hardy 空间 $H^1(\mathbb R^d)$ 的同构，其逆为 $L^{1\slash 2} (-\Delta)^{-1\slash 2}$。作为推论，我们得到空间 $H^1_L$ 可由 Riesz 变换 $R_j=\frac{\partial}{\partial x_j}L^{-1\slash 2}$ 刻画。