与满足 $k$-Davies-Gaffney 估计的算子相关联的弱 Hardy 空间 $WH_L^p({\mathbb R}^n)$

设 $L$ 是一个具有有界 $H_\infty$ 函数演算且满足 $k$-Davies-Gaffney 估计（其中 $k\in{\mathbb N}$）的 $\omega$ 型单射算子。本文通过非切向平方函数 $S_L$ 引入了与 $L$ 相关联的弱 Hardy 空间 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$（其中 $p\in (0,\,1]$），并建立了 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的弱分子刻画。此类算子的典型例子包括 $2k$ 阶散度型齐次椭圆算子 $L_1:=(-1)^k\sum_{|\alpha|=k=|\beta|}\partial^\beta(a_{\alpha,\beta}\partial^\alpha)$，其中 $\{a_{\alpha,\beta}\}_{|\alpha|=k=|\beta|}$ 为复有界可测函数；以及 $2k$ 阶 Schr\"odinger 型算子 $L_2:= (-\Delta)^k+V^k$，其中 $\Delta$ 为 Laplacian 算子且 $0\le V\in L^k_{\mathop\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$。作为应用，对于 $i\in\{1,\,2\}$ 且 $p\in(\frac{n}{n+k},\,1]$，作者证明了相关的 Riesz 变换 $\nabla^k (L_i^{-1/2})$ 是从 $WH^p_{L_i}(\mathbb{R}^n)$ 到经典弱 Hardy 空间 $WH^p(\mathbb{R}^n)$ 有界的；并且对于所有 $0<p<r\le1$ 和 $\alpha=n(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})$，分数次幂 $L_i^{-\frac{\alpha}{2k}}$ 是从 $WH_{L_i}^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $WH_{L_i}^r(\mathbb{R}^n)$ 有界的。此外，作者找到了 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$（其中 $p\in(0,\,1]$）的对偶空间，该空间可通过基于有界开集的某些精细覆盖的平均振荡来定义，且即使在 $L:=-\Delta$ 的情形下也是此前未知的。特别地，若 $L$ 是 $L^2({\mathbb R}^n)$ 中满足 Davies-Gaffney 估计的非负自伴算子，作者进一步建立了 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ 的弱原子刻画。