RD空间上的局部化BMO与BLO空间及其在Schrödinger算子中的应用

RD空间${\mathcal X}$是Coifman和Weiss意义下的齐型空间，并附加满足反向加倍条件。设$\rho$是RD空间${\mathcal X}$上的容许函数。作者首先引入局部化空间$\mathrm{BMO}_\rho({\mathcal X})$和$\mathrm{BLO}_\rho({\mathcal X})$，并建立其基本性质，包括$\mathrm{BMO}_\rho({\mathcal X})$的John-Nirenberg不等式、$\mathrm{BLO}_\rho({\mathcal X})$的若干等价刻画，以及这些空间之间的一些关系。然后，作者获得了若干算子在这些局部化空间上的有界性，这些算子包括自然极大算子、Hardy-Littlewood极大算子、径向极大函数及其与$\rho$相关的局部化版本，以及与$\rho$相关的Littlewood-Paley $g$-函数，其中Littlewood-Paley $g$-函数和部分径向极大函数是通过以Schrödinger算子生成的半群为模型的核来定义的。这些结果适用于广泛的背景，例如，在${{\mathbb R}}^d$上的Schrödinger算子或退化Schrödinger算子，或在Heisenberg群或连通单连通幂零Lie群上的次Laplace Schrödinger算子。