关于边界值在 BMO 空间中的薛定谔方程狄利克雷问题

设 $(X,d,\mu)$ 为满足 $Q$-加倍条件（$Q>1$）与 $L^2$-Poincaré 不等式的度量测度空间。令 $\mathscr{L}=\mathcal{L}+V$ 为 $X$ 上的薛定谔算子，其中 $\mathcal{L}$ 为由 Dirichlet 形式推广的非负算子，$V$ 为满足某反向 Hölder 条件 $RH_q$（$q\ge (Q+1)/2$）的非负 Muckenhoupt 权。我们证明，$X\times \mathbb{R}_+$ 上 $(\mathscr{L}-\partial_t^2)u=0$ 的解满足 Carleson 条件，$$\sup_{B(x_B,r_B)}\frac{1}{\mu(B(x_B,r_B))} \int_{0}^{r_B} \int_{B(x_B,r_B)} |t\nabla u(x,t)|^2 \frac{\mathrm{d}\mu\mathrm{d} t}{t}<\infty,$$ 当且仅当 $u$ 可表示为具有属于与 $\mathscr{L}$ 相关的 BMO 空间之迹的薛定谔算子 $\mathscr{L}$ 的泊松积分。