用蒙特卡洛方法求解方程 $a\Delta u+b\cdot \nabla u=0$ 的Dirichlet问题

在本文中，我们研究对应于开有界集$D\subset \mathbb{R}^{d}$和算子\begin{equation*} A=\sum_{i=1}^{d}a\frac{\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}} +\sum_{i=1}^{d}b_{i}\frac{\partial }{\partial x_{i}}, \end{equation*}（其中$a>0$且$b\in \mathbb{R}^{d}$）的Dirichlet问题。我们定义了一种均值性质，并证明函数$u$在$D$中具有该性质当且仅当在$D$中$Au=0$。利用这一刻画和漂移布朗运动（drifted Brownian motion），我们定义了一族几乎必然收敛的随机变量，其极限被用于给出Dirichlet问题解的显式表示，这立即蕴含了唯一性。另一方面，通过在对$D$的边界施加正则条件证明了解的存在性。