某些半线性 Dirichlet 问题的解的精确数目

A. Ambrosetti 和 G. Prodi [1] 的经典结果，以 M.S. Berger 和 E. Podolak [4] 的形式，给出了一类凸函数 $g(u)$ 且 $\int _D e(x) \phi _1(x)\, dx=0$（其中 $\phi _1(x)>0$ 是 $D$ 上 Laplacian 的主特征函数，$D \subset R^n$ 是光滑区域）时，问题 \Delta u+g(u)= \mu \phi _1(x)+e(x) \;\; \mbox{in $D$} , \;\; u=0 \;\; \mbox{on $\partial D$} \,, 依赖于实参数 $\mu$ 的解的精确数目。通过考虑广义谐波，我们对问题 \Delta u+g(u)= \mu f(x) \;\; \mbox{in $D$} , \;\; u=0 \;\; \mbox{on $\partial D$} \,, 在 $f(x)>0$ 的情况下给出了类似的结果。例如，这类问题出现在我们讨论的“捕鱼”应用中，并且我们提出了一个新模型。我们的方法还为 Ph. Cl\'{e}ment 和 L.A. Peletier [5] 的反最大值原理提供了一个非常简单的证明。