等谐波解曲线与共振问题

我们考虑半线性 Dirichlet 问题 \Delta u+kg(u)=\mu _1 \varphi _1+\cdots +\mu _n \varphi _n+e(x) \;\; \mbox{对于 $x \in \Omega$}, \;\; u=0 \;\; \mbox{在 $\partial \Omega$ 上}, 其中 $\varphi _k$ 是 $\Omega$ 上 Laplacian 的第 $k$ 个特征函数，且 $e(x) \perp \varphi _k$，$k=1, \ldots, n$。将解写为 $u(x)= \Sigma _{i=1}^n \xi _i \varphi _i+U(x)$ 的形式，其中 $U \perp \varphi _k$，$k=1, \ldots, n$。从 $k=0$（此时问题是线性的）开始，我们通过保持 $\xi =(\xi _1, \ldots,\xi _n)$ 固定但允许 $\mu =(\mu _1, \ldots,\mu _n)$ 变化，在 $k$ 中延续解。研究映射 $\xi \rightarrow \mu$ 为上述问题提供了存在性和多重性结果。我们将结果应用于共振问题，包括主特征值和更高特征值处的共振。我们的方法适用于数值计算，我们对此进行了实现，以说明我们的结果。