半线性次椭圆Dirichlet问题的多解性

本文研究半线性次椭圆方程 $$\left\{ \begin{array}{cc} -\triangle_{X} u=f(x,u)+g(x,u) & \mbox{in}~\Omega, \\[2mm] u=0\hfill & \mbox{on}~\partial\Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $\triangle_{X}=-\sum_{i=1}^{m}X_{i}^{*}X_{i}$ 是与满足Hörmander条件的向量场 $X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{m})$ 相伴的自伴Hörmander算子，$f(x,u)\in C(\overline{\Omega}\times \mathbb{R})$，$g(x,u)$ 是 $\Omega\times \mathbb{R}$ 上的Carathéodory函数，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中具有光滑边界的有界开区域。将对称扰动方法与涉及特征值估计和Morse指数估计极小极大值的途径相结合，我们得到了上述问题多个弱解存在的两类结果。进一步，我们讨论了退化情形下特征值估计途径与Morse指数途径的差异。与经典椭圆情形相比，这两种途径在退化情形下各有优势。这一新现象意味着一般退化情形下的结果将与经典椭圆情形大不相同。