半线性亚欧尔维尔 Dirichlet 问题的多解无符号变化解

我们研究以下关于半线性亚欧尔维尔方程的对称性问题的扰动：\n$$\left\{ \begin{array}{cc} -\triangle_{X} u=f(x,u)+g(x,u) & \mbox{in}~\Omega, \\[2mm] u\in H_{X,0}^{1}(\Omega),\hfill \end{array} \right.$$\n其中，$\triangle_{X}=-\sum_{i=1}^{m}X_{i}^{*}X_{i}$ 是与 H"{o}rmander 向量场 $X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{m})$ 关联的自伴亚欧尔维尔算子，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开区间，$H_{X,0}^{1}(\Omega)$ 表示加权 Sobolev 空间。我们利用扰动方法和不变集的精细技术，建立了无符号变化解的数量结果。关键在于对与无符号变化临界点相关的最小-最大值的下界估计。在本文中，我们构造了两种不同的下界估计。第一种下界来源于 $-\triangle_{X}$ 的 Dirichlet 特征值的下界；另一种下界基于 Morse 类型估计和退化情况下的 Cwikel-Lieb-Rozenblum 不等式。在这些下界提供的条件不同，分别具有独特的优势且相互不包含，特别是在一般非等规情况下的这种现象。这种新观察表明，从某种意义上说，亚欧尔维尔方程的情况与经典椭圆框架之间可能存在本质差异。