具有超临界凹凸非线性项的椭圆问题的多重性结果

我们将证明一类具有超临界非线性项的半线性椭圆问题的多重性结果，其形式为 \begin{equation}\label{con-c} \left \{ \begin{array}{ll} -\Delta u =|u|^{p-2} u+\mu |u|^{q-2}u, & x \in \Omega\ u=0, & x \in \partial \Omega \end{array} \right. \end{equation} 其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 是具有 $C^2$-边界的有界区域，且 $1<q< 2<p.$ 作为我们结果的一个推论，我们将证明，对于每个 $p>2$，存在 $\mu^*>0$，使得对于每个 $\mu \in (0, \mu^*)$，该问题有一列负能量的解。这一结果对于 $p$ 的次临界值已是已知的。在本文中，我们将其也推广到 $p$ 的超临界值。我们的方法基于作者之一建立的一个新变分原理，该原理允许处理超出通常局部紧性结构的问题。