具有梯度临界增长的非强制椭圆问题的多重性结果

我们考虑边值问题 \begin{equation} - \Delta u = \lambda c(x)u+ \mu(x) |\nabla u|^2 + h(x), \qquad u \in H^1_0(\Omega) \cap L^{\infty}(\Omega), \leqno{(P_{\lambda})} \end{equation} 其中 $\Omega \subset \R^N, N \geq 3$ 是一个具有光滑边界的有界区域。假设 $c\gneqq 0$，$c,h$ 属于 $L^p(\Omega)$ 对于某个 $p > N$。同时 $\mu \in L^{\infty}(\Omega)$ 且 $\mu \geq \mu_1 >0$ 对于某个 $\mu_1 \in \R$。已知当 $\lambda \leq 0$ 时，问题 $(P_{\lambda})$ 至多有一个解。本文中，我们在各种假设下研究当 $\lambda>0$ 时 $(P_{\lambda})$ 解集的结构。我们的研究揭示了这个问题的丰富结构。我们特别展示了 $\lambda=0$ 时发生的情况会影响整个半空间 $]0,+\infty[\times(H^1_0(\Omega) \cap L^{\infty}(\Omega))$ 中的解集。我们的大多数结果在无需假设 $h$ 有符号的情况下成立。若要求 $h$ 有符号，我们观察到对于 $h\gneqq 0$ 和 $h\lneqq 0$，解集完全不同。我们还展示了当 $h$ 有符号时，不具有该符号的解可能存在。同时也推导出了一些带符号解的唯一性结果。论文最后列出了一系列开放问题。