具有梯度临界增长与变号系数的椭圆问题的存在性与多解性

设$\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$N \geq 2$，为光滑有界域。我们考虑边值问题\begin{equation} \label{Plambda-Abstract-ch3} \tag{$P_{\lambda}$} -\Delta u = c_{\lambda}(x) u + \mu |\nabla u|^2 + h(x)\,, \quad u \in H_0^1(\Omega) \cap L^{\infty}(\Omega)\,, \end{equation}其中$c_{\lambda}$与$h$对某些$q > N/2$属于$L^q(\Omega)$，$\mu$属于$\mathbb{R} \setminus \{0\}$，并将$c_{\lambda}$写为形式$c_{\lambda}:= \lambda c_{+} - c_{-}$，其中$c_{+} \gneqq 0$，$c_{-} \geq 0$，$c_{+} c_{-} \equiv 0$且$\lambda \in \mathbb{R}$。此处$c_{\lambda}$与$h$均允许变号。作为首要结果，我们给出当$\lambda \leq 0$时保证\eqref{Plambda-Abstract-ch3}存在唯一解的充要条件。进而，假设$(P_0)$有解，我们证明了对$\lambda > 0$的存在性与多解性结果。我们的证明依赖于类型$v = F(u)$的适当变量代换，以及变分方法与上下解技术的结合。