具有 $L^1$ 数据和奇异反应项的非线性椭圆方程的存在性与非存在性现象

我们研究如下奇异椭圆边值问题解的存在性与非存在性：\begin{equation}\label{eintro}\begin{cases}\tag{1} \displaystyle -\Delta_p u+ \frac{a(x)}{u^{\gamma}}=\mu f(x) \ &\text{在 } \Omega \text{ 中}, \newline u>0&\text{在 } \Omega \text{ 中}, \newline u = 0 \ &\text{在 } \partial\Omega \text{ 上}, \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 2$) 中具有光滑边界的有界开子集，$\Delta_p u$ 是 $p$-拉普拉斯算子 ($p>1$)，$0<\gamma\leq 1$，且 $a\geq0$ 是有界且非平凡的。对于任何正的 $f\in L^{1}(\Omega)$，我们证明对于某个足够大的 $\mu_0>0$，问题 \eqref{eintro} 对任何 $\mu >\mu_0$ 都是可解的。作为一个反向结果，我们还证明如果 $0<\mu<\mu_{0*}$，对于某个小的 $\mu_{0*}$，不存在有限能量解。本文将 J. I. Diaz、J. M. Morel 和 L. Oswald 的著名工作（[16]）推广到了 $p\neq2$ 的情况。对于 $p=2$ 且奇异项在零点附近具有临界增长（即 $\gamma=1$）的情形，我们的结果也是新的。