梯度临界增长的椭圆 p-Laplace 问题的存在性与多解性

我们考虑边值问题 $-\Delta_p u = \lambda c(x) |u|^{p-2}u + \mu(x) |\grad u|^p + h(x)$，$u \in W^{1,p}_0(\Omega) \cap L^{\infty}(\Omega)$，其中 $\Omega \subset \mathbb R^N$，$N \geq 2$，是具有光滑边界的有界域。我们假设 $c$、$h \in L^q(\Omega)$ 对某个 $q > \max\{N/p,1\}$ 成立，且 $c \gneqq 0$，$\mu \in L^{\infty}(\Omega)$。我们证明了在强制情形 $\lambda \leq 0$ 下的存在性与唯一性结果，以及在非强制情形 $\lambda >0$ 下的存在性与多解性结果。此外，在对系数作更强假设下，我们澄清了非强制情形中解集的结构。