关于具有凹凸非线性的 p-Laplace 方程正解的存在性阈值

我们研究以下具有凹凸非线性的边值问题：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{r c l l} -\Delta_p u & = & \Lambda\,u^{q-1}+ u^{r-1} & \textrm{in }\Omega, \ u & = & 0 & \textrm{on }\partial\Omega. \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是有界区域，且 $1<q<p<r<p^*$。众所周知，存在一个数 $\Lambda_{q,r}>0$，使得当 $0<\Lambda<\Lambda_{q,r}$ 时问题至少有两个正解，当 $\Lambda=\Lambda_{q,r}$ 时至少有一个正解，而当 $\Lambda > \Lambda_{q,r}$ 时没有正解。我们证明了 $$\lim_{q \to p} \Lambda_{q,r} = \lambda_1(p),$$ 其中 $\lambda_1(p)$ 是 p-Laplace 算子的第一特征值。值得注意的是，$\lambda_1(p)$ 是极限情况 $q=p$ 下上述问题正解存在/不存在的阈值。