含混合局部-非局部算子的准线性问题与凹-临界非线性项: 正解的多重性

我们研究由经典 $p$ -拉普拉斯算子与分数 $p$ -拉普拉斯算子之和得到的混合阶数算子驱动的凹-临界问题:\n\begin{equation}\tag{$\mathcal{P}_{\lambda,\varepsilon}$} -\Delta_p u+\varepsilon(-\Delta_p)^s u=\lambda|u|^{q-2}u+|u|^{p^*-2}u \;\text{ in }\Omega,\quad u=0 \; \text{ in }\mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{equation}\n其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 为有界开集, $\varepsilon\in(0,1]$, $0<s<1<q<p<N$, $p^*=\frac{Np}{N-p}$, $\lambda \in \mathbb{R}$ 为参数.对于 $\lambda \leq 0$,我们证明 ($\mathcal{P}_{\lambda,\varepsilon}$) 无非平凡解.对于 $\lambda>0$,我们证明 Ambrosetti-Brezis-Cerami 类型结果,具体地证明存在 $\Lambda_\varepsilon$ 使得 ($\mathcal{P}_{\lambda,\varepsilon}$) 在 $0<\lambda<\Lambda_\varepsilon$ 时有正最小解,在 $\lambda=\Lambda_\varepsilon$ 时有正解,而 $\lambda>\Lambda_\varepsilon$ 时无正解.我们还证明存在 $0<\lambda^\#\leq\Lambda_\varepsilon$ 使得 ($\mathcal{P}_{\lambda,\varepsilon}$) 在 $\lambda\in(0,\lambda^\#)$ 时(当 $\varepsilon$ 足够小)至少有两个正解.该结果将 Biagi 和 Vecchi (Nonlinear Anal. 256 (2025),113795)、Amundsen 等人 (Commun. Pure Appl. Anal., 22(10):3139-3164, 2023) 从 $p=2$ 推广至一般 $1<p<N$,同时将 Azorero 和 Peral (Indiana Univ. Math. J., 43(3):947-957, 1994) 的经典结果推广至混合局部-非局部准线性问题.此外,我们的结果补充了 da Silva 等人 (J. Differential Equations, 408:494-536, 2024) 中非负解的多重性结果.