具有凹凸非线性项的次临界Hamiltonian系统的多重性结果

我们研究 {\it Hamiltonian 椭圆系统} \begin{eqnarray}\label{HS1-abstract} \left\{ \begin{aligned} -\Delta u & = \lambda |v|^{r-1}v +|v|^{p-1}v \qquad &\hbox{in} \ \ \Omega ,\\ -\Delta v & = \mu |u|^{s-1}u +|u|^{q-1}u \qquad &\hbox{in} \ \ \Omega ,\\ u &>0, \ v>0 \qquad \, &\hbox{in} \ \ \Omega ,\\ u &=v = 0 \qquad \quad &\hbox{on} \quad \partial \Omega, \end{aligned} \right. \end{eqnarray} 其中 $\Omega \subset \mathbb {R}^N$ 是光滑有界区域，$\lambda$ 和 $\mu$ 是非负参数，且 $r,s,p,q>0$。我们的研究包括 \eqref{HS1-abstract} 中的非线性项在原点附近为凹、在无穷远处为凸的情况，并重点关注非负的 {\it 参数对} \red{$(\lambda,\mu)$} 区域，以保证 \eqref{HS1-abstract} 解的存在性和多重性。\red{特别地，我们证明了在区间 $[0, \mu]$ 上存在一条严格递减的曲线 $\lambda_*(\mu)$，满足 $\lambda_*(0)> 0, \lambda_*(\mu) = 0$，且当 $(\lambda,\mu)$ 位于该曲线下方时系统有两个解，位于曲线上时有一个解，位于曲线上方时无解。对调 $\lambda$ 和 $\mu$ 可得类似结论。} 本工作受Ambrosetti、Brezis和Cerami于1993年所得部分结果的启发。