有界域上Gross-Pitaevskii型系统多重变号与半节点归一化解：$L^2$-超临界情形

本文研究了Gross-Pitaevskii型$m$耦合椭圆系统多重变号和半节点归一化解的存在性：\n\begin{equation}\n\left\{\n\begin{aligned}\n&-\Delta u_j + \lambda_j u_j = \sum_{k=1 }^m\beta_{kj} u_k^2 u_j, \quad u_j \in H_0^1(\Omega), \\\n&\int_\Omega u_j^2dx = c_j, \quad j = 1,2,\cdots,m.\n\end{aligned}\n\right.\n\end{equation}\n这里，$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N = 3,4$) 是一个有界域。常数$\beta_{kj} \neq 0$和$c_j > 0$是预先指定的常数，而$\lambda_1, \cdots, \lambda_m$是未知的，作为拉格朗日乘子出现。这是文献中首次关于在$\beta_{kj}$所有取值范围内耦合薛定谔系统变号和半节点归一化解的存在性和多重性的结果。我们使用的主要工具是一种新的向量链接技巧，本文首次尝试使用链接方法来寻找耦合系统的解。特别地，为了获得半节点归一化解，我们引入了部分向量链接，据我们所知，这是全新的。此外，通过研究当$\vec{c}=(c_1,\ldots,c_m) \to \vec{0}$时的极限过程，我们得到了一些分岔结果。注意，当$N=4$时，系统是Sobolev临界的。