具有混合非线性的非自治薛定谔方程归一化解的多重性与轨道稳定性

本文研究具有混合非线性的薛定谔方程归一化解的多重性 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u=\lambda u+h(\epsilon x)|u|^{q-2}u+\eta |u|^{p-2}u,\quad x\in \mathbb{R}^N, \\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=a^2, \end{cases} \end{equation*} 其中 $a, \epsilon, \eta>0$，$q$ 为 $L^2$-次临界，$p$ 为 $L^2$-超临界，$\lambda\in \mathbb{R}$ 为作为拉格朗日乘子出现的未知参数，$h$ 为正连续函数。证明了当 $\epsilon$ 足够小时，归一化解的个数至少为 $h$ 的全局极大值点的个数。此外，也分析了所得解的轨道稳定性。特别地，我们的结果涵盖了 Sobolev 临界情形 $p=2N/(N-2)$。