具有临界 Sobolev 指数与混合非线性的 $p$-拉普拉斯方程的归一化解

在本文中，我们考虑如下 $p$-拉普拉斯临界方程的归一化解的存在性与多重性 \begin{align*} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta_{p}u=\lambda\lvert u\rvert^{p-2}u+\mu\lvert u\rvert^{q-2}u+\lvert u\rvert^{p^*-1}u&\mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \int_{\mathbb{R}^N}\lvert u\rvert^pdx=a^p, \end{array}\right. \end{align*} 其中 $1<p<N$，$2<q<p^*=\frac{Np}{N-p}$，$a>0$，$\mu\in\mathbb{R}$ 且 $\lambda\in\mathbb{R}$ 为拉格朗日乘子。利用集中紧致引理、Schwarz 重排、Ekeland 变分原理与极小极大定理，我们在 $\mu>0$ 及其他假设下获得了若干存在性结果。我们还分析了这些解在 $\mu\rightarrow 0$ 及 $\mu$ 趋于其上界时的渐近行为。此外，我们给出了 $\mu<0$ 时的不存在性结果，并通过亏格理论证明当 $p<q<p+\frac{p^2}{N}$ 时该 $p$-拉普拉斯方程具有无穷多解。