具有势函数的 p-Laplacian 方程的归一化解

本文考虑如下 $p$-Laplacian 方程归一化解的存在性 \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta_{p}u-V(x)\lvert u\rvert^{p-2}u+\lambda\lvert u\rvert^{p-2}u=\lvert u\rvert^{q-2}u&\mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \int_{\mathbb{R}^N}\lvert u\rvert^pdx=a^p, \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $N\geqslant 1$，$p>1$，$p+\frac{p^2}{N}<q<p^*=\frac{Np}{N-p}$（若 $N\leqslant p$，则 $p^*=+\infty$），$a>0$，且 $\lambda\in\mathbb{R}$ 是由于质量约束而出现的拉格朗日乘子。首先，在对 $V$ 作某些小性假设但对 $a$ 无任何假设下，我们得到一个具有正能量的山路解，而不存在具有负能量的解。其次，假设质量 $a$ 具有依赖于 $V$ 的上界，我们得到两个解，一个是具有负能量的局部极小解，另一个是具有正能量的山路解。