带质量亚临界扰动的多极性 Gross-Pitaveskii 方程组的多个规范解

本文研究以下带质量亚临界扰动的多极性 Gross-Pitaveskii 方程规范解的存在性：\n\begin{align*}\n \left\{ \begin{array}{lll} -\frac{1}{2}\Delta u+\mu u+V(\varepsilon x)u + \lambda_1 |u|^{2}u + \lambda_2(K\ast|u|^{2})u + \lambda_3|u|^{p-2}u = 0, \;&\text{in}\; \mathbb{R}^{3},\ \int_{{\mathbb{R}}^3} |u|^{2}dx = a^{2}, \end{array}\right.\n\end{align*}\n其中 $a,\varepsilon>0$，$2<p<\frac{10}{3}$，$\mu \in \mathbb{R}$ 为拉格朗日乘子，$\lambda_3<0$，$(\lambda_1,\lambda_2) \in \left\lbrace (\lambda_1,\lambda_2) \in \mathbb{R}^{2}:\lambda_1<\frac{4\pi}{3}\lambda_2\le 0\; \text{或}\; \lambda_1<-\frac{8\pi}{3}\lambda_2\le 0 \right\rbrace$，$V(x)$ 为外部势，$\ast$ 表示卷积，$K(x)=\frac{1-3cos^{2}\theta (x)}{|x|^{3}}$，$\theta (x)$ 为由 $(0,0,1)$ 确定的偶极轴与向量 $x$ 之间的夹角。在 $V$ 的某些假设下，我们使用变分方法证明：当 $\varepsilon>0$ 足够小时，规范解的数量至少等于 $V$ 的全局最小值点的数量。