强亚线性 regime 下 $(2, q)$-Laplacian 方程组的归一化解

在本文中，我们考虑以下 $(2, q)$-Laplacian 方程的归一化解的存在性与数目性： \begin{equation}\label{Equation1} \left\{\begin{aligned} &-\Delta u-\Delta_q u+\lambda u=g(u),\quad x \in \mathbb{R}^N, &\int_{\mathbb{R}^N}u^2 d x=c^2, \end{aligned}\right. \tag{$\mathscr E_\lambda$} \end{equation}其中 $1<q<N$， $\Delta_q=\operatorname{div}\left(|\nabla u|^{q-2} \nabla u\right)$ 为 $q$-Laplacian 算子，$\lambda$ 为拉格朗日乘子，$c>0$ 为常数。非线性函数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续的，且其在原点处的行为允许强亚线性，即 $\lim \limits _{s \rightarrow 0} g(s) / s=-\infty$，这包括对数非线性 $g(s)= s \log s^2$。我们考虑一族可在 $H^1\left(\mathbb{R}^N\right)\cap D^{1, q}\left(\mathbb{R}^N\right)$ 中设置的近似问题及其对应的最小能量解。随后，我们证明了该解族收敛于原问题的最小能量解。此外，在关于 $g$ 的某些假设下，我们可在 $H^1\left(\mathbb{R}^N\right)\cap D^{1, q}\left(\mathbb{R}^N\right)$ 的合适子空间中工作，证明上述 $(2, q)$-Laplacian 方程有无数多个解。