关于 $(2,q)$-Laplacian 方程的正规化解的存在性与数目性研究

本文研究了以下 $(2, q)$-Laplacian 方程的正规化解的存在性与数目性：\n\begin{equation*}\label{Eq-Equation1} \left\{\begin{array}{l} -\Delta u-\Delta_q u+\lambda u=f(u) \quad x \in \mathbb{R}^N , \int_{\mathbb{R}^N}u^2 d x=c^2, \end{array}\right. \end{equation*}其中 $1<q<N$, $N\geq3$, $\Delta_q=\operatorname{div}\left(|\nabla u|^{q-2} \nabla u\right)$ 表示 $q$-Laplacian 算子，$\lambda$ 为拉格朗日乘子，$c>0$ 为常数。非线性函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，在原点处具有质量亚临界增长，在无穷处具有质量超临界增长，且比两个幂的和更为一般。在不同假设下，我们证明了局部最小能量解的存在性以及第二个能量更高的解的存在性。