具有非自治非线性的 Dirac 方程归一化解的存在性与多解性

本文研究如下非线性 Dirac 方程\n\begin{align*}\n\begin{cases}\n-i\sum\limits_{k=1}^3\alpha_k\partial_k u+m\beta u=f(x,|u|)u+\omega u, \displaystyle \int_{\mathbb{R}^3} |u|^2dx=a^2,\n\end{cases}\n\end{align*}\n其中 $u: \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{C}^{4}$, $m>0$ 为 Dirac 粒子的质量, $\omega\in \mathbb{R}$ 作为 Lagrange 乘子出现, $\partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}$, $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为 $4\times 4$ Pauli-Dirac 矩阵, $a>0$ 为给定常数, 且 $f(x,\cdot)$ 具有若干将在引言中讨论的物理解释。在关于非线性项 $f$ 的一般假设下, 我们结合扰动方法与 Lyapunov-Schmidt 约化, 证明了上述非线性 Dirac 方程 $L^2$-归一化解的存在性。借助 Ljusternik-Schnirelmann 多解定理, 我们还给出了这些归一化解的多解性。此外, 我们得到了该问题的分歧结果。