非线性Dirac方程的归一化解

我们证明了非线性Dirac方程存在一个归一化、驻波解 $\Psi \colon \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{C}^{4}$，其频率 $w > 0$。该结果涵盖了非线性项为如下形式函数的梯度的情况 \begin{equation*} F(\Psi) = a|(\Psi, \gamma^{0}\Psi)|^{\frac{\alpha}{2}} + b|(\Psi, \gamma^{1}\gamma^{2} \gamma^{3} \Psi)|^{\frac{\alpha}{2}} \end{equation*} 其中 $\alpha \in (2,\frac{8}{3}]$，$b \geq 0$ 且 $a > 0$ 充分小。这里 $\gamma^{i}$，$i = 0,\ldots, 3$ 是 $4 \times 4$ Dirac 矩阵。我们将该解寻找为限制在 $L^{2}$ 中单位球上的某个合适泛函的临界点，而 $w$ 恰好成为相应的 Lagrange 乘子。