非线性 Dirac 方程孤立波的线性不稳定性

我们考虑非线性 Dirac 方程，也称为 Soler 模型：$i\p\sb t\psi=-i\alpha \cdot \nabla \psi+m \beta \psi-f(\psi\sp\ast \beta \psi) \beta \psi$，其中 $\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{N}$，$x\in\mathbb{R}^n$，$n\le 3$，$f\in C\sp 2(\R)$，$\alpha_j$ ($j = 1,...,n$) 和 $\beta$ 是满足 $\alpha_j^2=\beta^2=I_N$、$\alpha_j \beta+\beta \alpha_j=0$、$\alpha_j \alpha_k + \alpha_k \alpha_j =2 \delta_{jk} I_N$ 的 $N \times N$ Hermite 矩阵。我们研究孤立波解 $\phi(x)e^{-i\omega t}$ 的谱稳定性。我们研究了在 $\omega\to m$ 极限下从 NLS 孤立波分岔而出的孤立波处线性化算子的点谱，证明了若 $k>2/n$，则在这些 $\omega$ 充分接近 $m$ 的孤立波处的线性化算子谱中存在一个正特征值和一个负特征值，从而这些孤立波是线性不稳定的。该方法基于将 Rayleigh--Schroedinger 微扰理论应用于方程的非相对论极限。所得结果与 Vakhitov--Kolokolov 稳定性判据在形式上一致。