任意非线性下非线性 Dirac 方程中孤立波的稳定性

我们考虑 1+1 维具有标量 - 标量自相互作用 $\frac{g^2}{\kappa+1} ({\bar \Psi} \Psi)^{\kappa+1}$ 和质量 $m$ 的非线性 Dirac 方程。利用任意 $\kappa$ 下形式为 $\Psi(x,t) = \psi(x) e^{-i \omega t}$ 的静止参考系孤立波的精确解析形式，我们讨论了各种理解稳定性的方法的有效性，这些方法在非线性 Schr\"odinger 方程中曾取得成功。特别是，我们研究了 Derrick 定理的一个版本、Bogolubsky 判据以及 Vakhitov-Kolokolov 判据的有效性，发现这些判据得出了不一致的结果。因此，我们利用最近开发的 4 阶算子分裂积分法，通过数值模拟研究稳定性。对于不同的 $\kappa$ 范围，我们绘制了 $\omega$ 中的稳定性区域。我们发现所有稳定的非线性 Dirac 孤立波都具有单峰轮廓，但并非所有单峰波都是稳定的，而所有双峰波都是不稳定的。我们还发现，不稳定性开始显现所需的时间 $t_c$ 是 $\omega$ 的指数递增函数，且 $t_c$ 随 $\kappa$ 的增加而单调递减。