具有双重临界 Hardy-Sobolev-Maz'ya 项的椭圆问题的无穷多变号解

在本文中，我们研究以下涉及双重临界 Hardy-Sobolev-Maz'ya 项的椭圆问题：$$\left\{\begin{array}{ll} -\Delta u = \mu\frac{|u|^{2^*(t)-2}u}{|y|^t} + \frac{|u|^{2^*(s)-2}u}{|y|^s} + a(x) u, & {\rm in}\ \Omega,\ \quad u = 0, \,\, &{\rm on}\ \partial \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $\mu\geq0$，$a(x)>0$，$2^*(t)=\frac{2(N-t)}{N-2}$，$2^*(s) = \frac{2(N-s)}{N-2}$，$0\leq t<s<2$，$x = (y,z)\in \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^{N-k}$，$2\leq k<N$，$(0,z^*) \in \bar{\Omega}$ 且 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的有界区域。应用 \cite{sz} 中的一个抽象定理，我们证明了如果当 $\mu>0$ 时 $N>6+t$，当 $\mu=0$ 时 $N>6+s$，且 $\Omega$ 满足某些几何条件，则上述问题具有无穷多个变号解。主要工具是估计这些 nodal 解的 Morse 指数。