Carleson测度估计与退化椭圆方程的Dirichlet问题

我们证明了当 $n\geq2$ 且边界数据属于某个 $p<\infty$ 的 $L^p_\mu(\mathbb{R}^n)$ 时,上半空间 $(x,t)\in \mathbb{R}^{n+1}_+$ 中退化椭圆方程 $\mathrm{div}(A \nabla u) = 0$ 的Dirichlet问题可解。系数矩阵 $A$ 仅被假定为可测、实值且与 $t$ 无关,其退化界与椭圆性由 $A_2$ 权 $\mu$ 控制。不要求 $A$ 对称。该结果通过证明所有有界解的Carleson测度估计而得到,从而推得退化椭圆测度关于 $\mathbb{R}^n$ 上 $\mu$-加权Lebesgue测度属于 $A_\infty$。该Carleson测度估计使我们避免应用 $\epsilon$-可逼近性方法,从而简化了近期在一致椭圆系数情形下获得的证明。结果可自然推广到Lipschitz区域。