具有低维边界的域上椭圆算子的Carleson扰动

我们为Fefferman、Kenig和Pipher关于散度型椭圆算子Dirichlet问题的扰动结果证明了一个类比，对应于David、Feneuil和Mayboroda所发展的退化椭圆算子，这些算子被用于研究边界余维数大于 $1$ 的集合的几何与分析性质。这些算子形如 $-\text{div} A\nabla$，其中 $A$ 是一个加权椭圆矩阵，其构造方式用于对到高余维边界的距离进行加权，从而孕育出一种椭圆理论。当该边界是 $\mathbb R^n$ 中的 $d-$Alhfors-David正则集，且 $d\in[1,n-1)$、$n\geq3$ 时，我们证明调和测度属于 $A_{\infty}$ 的性质在系数矩阵的Carleson测度扰动下得以保持，进而Dirichlet问题的 $L^p-$可解性在这些扰动下（可能对应不同的 $p$）也是稳定的。若Carleson测度扰动适当小，我们建立了在同一 $L^p$ 空间中Dirichlet问题的可解性。我们的结果连同David、Engelstein和Mayboroda先前的一个结果，可得如下推论：给定任意 $d$-ADR边界 $\Gamma$，其中 $d\in[1,n-2)$、$n\geq3$，存在一族如上所述的退化算子，其调和测度关于 $\Gamma$ 上的 $d-$维Hausdorff测度绝对连续。