BMO型空间在带Neumann边界条件的Navier-Stokes型抛物方程中的应用

设 $L$ 为形如 $L=-\Delta_{N}$ 的Neumann算子,作用于 $L^2(\mathbb R^n)$。令 ${BMO}_{\Delta_{N}}(\mathbb R^n)$ 表示与Neumann算子 $\L$ 相关的 $\mathbb R^n$ 上的BMO空间。本文将证明函数 $f\in { BMO}_{\Delta_{N}}(\mathbb R^n)$ 是如下方程解的边值(trace): $${\mathbb L}u=u_{t}+L u=0, u(x,0)= f(x),$$ 其中 $u$ 满足Carleson型条件 \begin{eqnarray*} \sup_{x_B, r_B} r_B^{-n}\int_0^{r_B^2}\int_{B(x_B, r_B)} |\nabla u(x,t)|^2 {dx dt } \leq C <\infty, \end{eqnarray*} 对某个常数 $C>0$。反之,该Carleson条件刻画了所有边值属于空间 ${BMO}_{\Delta_{N}}(\mathbb R^n)$ 的 ${\mathbb L}$-carolic函数。这一结果推广了E. Fabes与U. Neri在({Duke Math. J.} {42} (1975), 725-734)中关于John与Nirenberg经典BMO空间的类似刻画。此外,基于上述 ${BMO}_{\Delta_{N}}(\mathbb R^n)$ 空间刻画,我们在初值 $u_{0}\in {{ BMO}_{\Delta_{N}}^{-1}(\mathbb R^n)}$ 的小性条件下,证明了带Neumann边界条件的Navier-Stokes型抛物方程的全局适定性,该工作受P. Auscher与D. Frey({J. Inst. Math. Jussieu} {16(5)} (2017), 947-985)的启发。